tìm số phức z thỏa mãn điều kiện

Tìm cực trị của hàm số và tìm tham số m để hàm số đạt cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước. Bài toán cực trị thường gặp nhất trong các đề thi cao đẳng, đại học, THPT QG môn Toán. Đây là phần kiến thức có rất nhiều vấn đề cần học. Tổng hợp những bài Về mặt hình học, mỗi số phức Z = a+bi (a,b ∈R a, b ∈ R) được biểu diễn bởi một điểm M (z)= (a,b) trên mặt phẳng O_ {xy} và ngược lại. Khi đó modun của Z được biểu diễn bởi độ dài đoạn thẳng OM (z). Rõ ràng, modun của z là một số thực không âm và nó chỉ bằng 0 khi Z=0. 3.5. Argument của số phức Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng 8 số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(\left|z+\overline{z}\right|+\left|z-\overline{ \sqrt{2} \right].\) \(C. \left[\sqrt{2} ;2\right]. Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa điều kiện |z + 1 - i| = |z + 3 Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z-2-4i=z-2i .Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm A(4; 4) và M là điểm biển diễn số phức z thoả mãn điều kiện z-1 = z + 2-i. Tìm toạ độ điểm M để đoạn thẳng AM nhỏ nhất. Tìm số phức z gồm môđun nhỏ nhất hoặc tìm số phức z gồm môđun to nhất thỏa mãn điều kiện đến trước là một trong những dạng toán rất trị số phức. Từ đó giả thiết thường đến số phức z vừa lòng 1 phương trình tuyệt bất phương trình. Freie Presse Blaue Börse Sie Sucht Ihn. Ứng Dụng Hệ Thức Viet Giải Bài Toán Về Số PhứcPhương Pháp Tìm Căn Bậc Hai Của Số PhứcLý Thuyết Và Các Phép Toán Cộng Trừ Nhân Chia Số PhứcGiải Phương Trình Bậc Hai PhứcGiải Phương Trình Bậc Hai Phức Với Hệ Số ThựcGiải Phương Trình Bậc Cao Số PhứcGiải Phương Trình Bậc Cao Số PhứcChuyên Đề Tìm Số Phức Thỏa Mãn Điều Kiện Cho TrướcChuyên Đề Biểu Diễn Hình Học Của Số PhứcBài Tập Vận Dụng Cao Liên Quan Tới Số Phức Chuyên Đề Tìm Số Phức Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước giới thiệu tới quý vị thầy cô và các em học sinh chuyên đề Chuyên Đề Tìm Số Phức Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước. Nội dung chuyên đề giúp đánh giá năng lực học sinh sau khi kết thúc bài học. Tuyển tập đề kiểm tra, đề thi và bài tập chuyên đề toán 10 Danh sách các đề kiểm tra 15 phút toán 12 theo từng bài, kiểm tra 1 tiết 45 phút toán 12 theo từng chương, kiểm tra học kỳ 1 toán 12, kiểm tra học kỳ 2 toán 12, kiểm tra khảo sát toán 12 cả năm, các chuyên đề toán lớp 12, đề thi thử đại học, tất cả đều có lời giải chi tiết phục vụ cho công việc giảng dạy của quý thầy cô và việc tự học cảu các em học sinh, link danh sách tài liệu được để bên dưới bài viết. Dưới đây là chuyên đề Chuyên Đề Tìm Số Phức Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước Chuyên đề Chuyên Đề Tìm Số Phức Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước Để tải các tài liệu file word có đáp án và lời giải chi tiết quý thầy cô vui lòng liên hệ số hotline 0979263759 Call, Zalo, hoặc địa chỉ mail Nội dung chuyên đề được biên soạn bao gồm lý thuyết, bài tập ví dụ, bài tập luyện tập, bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết, qua đó giúp các em hệ thống được kiến thức cốt lõi trong chương học và phân dạng phương pháp giải bài tập, hình thành phản xạ có thể giải quyết các dạng bài tập tương tự tiếp theo. Quý thầy cô đóng góp đề thi của trường mình cho nguồn tài liệu thêm phong phú xin gửi về địa chỉ mail Edusmart Xin chân thành cảm ơn sự đóng góp của quý thầy cô. BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 CỰC HAY CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 1 TOÁN 12 ĐỀ THI HỌC KỲ 1 TOÁN 12 CÁC TRƯỜNG THPT TRÊN TOÀN QUỐC CÓ ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 2 TOÁN 12 ĐỀ THI HỌC KỲ 2 TOÁN 12 CÁC TRƯỜNG THPT TRÊN TOÀN QUỐC CÓ ĐÁP ÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT TOÁN 12 THEO CHỦ ĐIỂM CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 CÁC SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRÊN TOÀN QUỐC TỔNG HỢP BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 CÓ GIẢI CHI TIẾT ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 12 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 2 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 12 CHUYÊN ĐỀ MŨ LŨY THỪA VÀ LOGARIT ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 3 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 12 CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 12 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 1 HÌNH HỌC 12 CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 2 HÌNH HỌC 12 CHUYÊN ĐỀ NÓN TRỤ CẦU ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 3 HÌNH HỌC 12 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC OXYZ Chuyên đề tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước theo từng mức độ luyện thi tốt nghiệp THPT 2021 có đáp án và lời giải được phát triển từ câu 42 của đề tham khảo môn Toán 2021. TÌM SỐ PHỨC THỎA NHIỀU ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Số phức là một biểu thức dạng $a + bi$, trong đó $a,{\rm{ }}b$ là các số thực và số $i$ thỏa mãn ${i^2} = – 1$. Kí hiệu $z = a + bi.$ $i$ đơn vị ảo, $a$ phần thực, $b$ phần ảo. Chú ý * $z = a + 0i = a$ được gọi là số thực $a \in \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ * $z = 0 + bi = bi$ được gọi là số ảo hay số thuần ảo * $0 = 0 + 0i$ vừa là số thực vừa là số ảo 2. Biểu diễn hình học của số phức. * $M\left {a;b} \right$ biểu diễn cho số phức $z \Leftrightarrow z = a + bi$ 3. Hai số phức bằng nhau. Cho hai số phức $z = a + bi$ và $z’ = a’ + b’i$ với $a,b,a’,b’ \in \mathbb{R}$ $z = z’ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a’\\b = b’\end{array} \right.$ 4. Cộng và trừ số phức. Cho hai số phức $z = a + bi$ và $z’ = a’ + b’i$ với $a,b,a’,b’ \in \mathbb{R}$ $z + z’ = \left {a + a’} \right + \left {b + b’} \righti$ $z – z’ = \left {a – a’} \right + \left {b – b’} \righti$ 5. Nhân hai số phức. Cho hai số phức $z = a + bi$ và $z’ = a’ + b’i$ với $a,b,a’,b’ \in \mathbb{R}$ $\begin{array}{l} = \left {aa’ – bb’} \right + \left {ab’ + a’b} \righti\\ka + bi = ka + kbi\,\,k \in \mathbb{R}\end{array}$ 6. Môđun của số phức $z = a + bi$  Số thực $\left z \right = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \left {\overrightarrow {OM} } \right$ gọi là môdul của số phức $z = a + bi.$  $\left z \right = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {z\bar z} = \left {\overrightarrow {OM} } \right$ với $M\left {a;b} \right$ là điểm biểu diễn số phức $z.$  $\left z \right \ge 0,\;\forall z \in C\;,\,\,\left z \right = 0 \Leftrightarrow z = 0$.  $\left { \right = \left z \right.\left {z’} \right$;  $\left {\frac{z}{{z’}}} \right = \frac{{\left z \right}}{{\left {z’} \right}}$; $\left {\left z \right – \left {z’} \right} \right \le \left {z \pm z’} \right \le \left z \right + \left {z’} \right$. 7. Số phức liên hợp của số phức $z = a + bi$ là $z’ = a’ + b’i$ * $\overline{\overline z} = z$ * $\overline {z \pm z’} = \overline z + \overline {z’} $ * $\left {\overline z } \right = \left z \right$ * $\overline { = \overline z .\overline {z’} $ * $z + z’ = 2a$ * $\overline {\left {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right} = \frac{{\overline {{z_1}} }}{{\overline {{z_2}} }}$ * $z.\overline z = {a^2} + {b^2} = {\left z \right^2}$ 8. Chia hai số phức. Cho hai số phức $z = a + bi$ và $z’ = a’ + b’i$ với $a,b,a’,b’ \in \mathbb{R}$ Thương của $z’$ chia cho$z\left {z \ne 0} \right$ $\frac{{z’}}{z} = \frac{{z’\overline z }}{{z\overline z }} = \frac{{z’\overline z }}{{{{\left z \right}^2}}} = \frac{{aa’ + bb’}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ab’ – a’b}}{{{a^2} + {b^2}}}i$ 9. Căn bậc hai của số phức. $w = x + yi$ là căn bậc hai của số phức $z = a + bi$ khi và chỉ khi ${w^2} = z$ $\left\{ \begin{array}{c}{x^2} – {y^2} = a\\2xy = b\end{array} \right.$. Số $0$ có một căn bậc hai là số $w = 0.$ Số $z \ne 0$ có hai căn bậc hai đối nhau là $w$ và $–{\rm{ }}w.$ Hai căn bậc hai của số thực $a > 0\;$ là $ \pm \sqrt a $. Hai căn bậc hai của số thực $a 0$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt phức ${x_{1,}}_2 = \frac{{ – b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$ II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÓ LỜI GIẢI Mức độ 2 Câu 1. Biết $z = a + bi$ $\left {a,b \in \mathbb{R}} \right$ là số phức thỏa mãn $\left {3 – 2i} \rightz – 2i\overline z = 15 – 8i$. Tổng $a + b$ là A. $a + b = 5$. B. $a + b = – 1$. C. $a + b = 9$. D. $a + b = 1$. Lời giải Chọn A Ta có $z = a + bi$$ \Rightarrow \overline z = a – bi$. Theo đề bài ta có $\left {3 – 2i} \rightz – 2i\overline z = 15 – 8i$$ \Leftrightarrow \left {3 – 2i} \right\left {a + bi} \right – 2i\left {a – bi} \right = 15 – 8i$$ \Leftrightarrow 3a – \left {4a – 3b} \righti = 15 – 8i$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a = 15\\4a – 3b = 8\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 4\end{array} \right.$. Vậy $a + b = 9$. Câu 2. Cho số phức $z = a + bi$ trong đó $a$, $b$ là các số thực thỏa mãn $3z – \left {4 + 5i} \right\overline z = – 17 + 11i$. Tính $ab$. A. $ab = 6$. B. $ab = – 3$. C. $ab = 3$. D. $ab = – 6$. Lời giải Chọn A Ta có $z = a + bi$ $ \Rightarrow \overline z = a – bi$. Khi đó $3z – \left {4 + 5i} \right\overline z = – 17 + 11i \Leftrightarrow 3\left {a + bi} \right – \left {4 + 5i} \right\left {a – bi} \right = – 17 + 11i$ $ \Leftrightarrow \left { – a – 5b} \right – \left {5a – 7b} \righti = – 17 + 11i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – a – 5b = – 17\\ – 5a + 7b = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow z = 2 + 3i$. Vậy $ab = 6$. Câu 3. Cho hai số phức $z = \left {a – 2b} \right – \left {a – b} \righti$ và $w = 1 – 2i$. Biết $z = Tính $S = a + b$. A. $S = – 7$. B. $S = – 4$. C. $S = – 3$. D. $S = 7$. Lời giải Chọn A Ta có $z = \left {a – 2b} \right – \left {a – b} \righti$$ = \left {1 – 2i} \right.i$$ = 2 + i$$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a – 2b = 2}\\{ – a + b = 1}\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = – 4}\\{b = – 3}\end{array}} \right.$. Vậy $S = a + b$$ = – 7$. Câu 4. Trong tất cả các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện sau $\left {z + 1} \right = \left {\frac{{z + \bar z}}{2} + 3} \right$, gọi số phức $z = a + b{\rm{i}}$ là số phức có môđun nhỏ nhất. Tính $S = 2a + b$. A. $0$. B. $ – 4$. C. $2$. D. $ – 2$ Lời giải Chọn C Ta có $\left {z + 1} \right = \left {\frac{{z + \bar z}}{2} + 3} \right$$ \Leftrightarrow \left {\left {a + 1} \right + b{\rm{i}}} \right = \left {a + 3} \right$$ \Leftrightarrow {\left {a + 1} \right^2} + {b^2} = {\left {a + 3} \right^2}$$ \Leftrightarrow {b^2} = 4a + 8$. Do đó ${\left z \right^2} = {a^2} + {b^2}$$ = {a^2} + 4a + 8$$ = {\left {a + 1} \right^2} + 4 \ge 4$. $\min \left z \right = 2$ khi và chỉ khi $z = – 1 + 4{\rm{i}}$. Suy ra $S = 2a + b = 2$ Câu 5. Cho số phức $z = a + bi$ $\left {a,{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right$ thỏa mãn $z + 1 + 3i – \left z \righti = 0$. Tính $S = a + 3b$. A. $S = \frac{7}{3}$. B. $S = – 5$. C. $S = 5$. D. $S = – \frac{7}{3}$. Lời giải Chọn B Ta có $z + 1 + 3i – \left z \righti = 0$$ \Leftrightarrow a + bi + 1 + 3i – i\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0$ $ \Leftrightarrow a + 1 + \left {b + 3 – \sqrt {{a^2} + {b^2}} } \righti = 0$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 0\\b + 3 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\\left\{ \begin{array}{l}b \ge – 3\\{\left {b + 3} \right^2} = 1 + {b^2}\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\b = – \frac{4}{3}\end{array} \right.$$ \Rightarrow S = – 5$. Câu 6. Cho số phức $z = a + bi\,\left {a,\,b \in \mathbb{Z}} \right$ thỏa mãn $\left {z + 2 + 5i} \right = 5$ và $z.\bar z = 82$. Tính giá trị của biểu thức $P = a + b$. A. $10$. B. $ – 8$. C. $ – 35$. D. $ – 7$. Lời giải Chọn B Theo giả thiết ta có $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left {a + 2} \right}^2} + {{\left {b + 5} \right}^2}} = 5\\{a^2} + {b^2} = 82\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ – 5b – 43}}{2}\,\,\,\left 1 \right\\{a^2} + {b^2} = 82\,\,\,\,\,\left 2 \right\end{array} \right.$ Thay $\left 1 \right$ vào $\left 2 \right$ ta được $29{b^2} + 430b + 1521 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = – 9\\b = \frac{{ – 169}}{{29}}\end{array} \right.$ Vì $b \in \mathbb{Z}$ nên $b = – 9 \Rightarrow a = 1$. Do đó $P = a + b = – 8$. Câu 7. Cho số phức $z = a + bi$ $\left {a,{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right$ thỏa mãn $z + 1 + 3i – \left z \righti = 0$. Tính $S = a + 3b$. A. $S = \frac{7}{3}$. B. $S = – 5$. C. $S = 5$. D. $S = – \frac{7}{3}$. Lời giải Chọn B Ta có $z + 1 + 3i – \left z \righti = 0$$ \Leftrightarrow a + bi + 1 + 3i – i\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0$ $ \Leftrightarrow a + 1 + \left {b + 3 – \sqrt {{a^2} + {b^2}} } \righti = 0$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 0\\b + 3 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\\left\{ \begin{array}{l}b \ge – 3\\{\left {b + 3} \right^2} = 1 + {b^2}\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\b = – \frac{4}{3}\end{array} \right.$$ \Rightarrow S = – 5$. Câu 8. Cho số phức $z$ thỏa mãn $\overline z = \frac{{{{\left {1 + \sqrt 3 i} \right}^3}}}{{1 – i}}$. Tìm môđun của $\overline z + iz$. A. $4\sqrt 2 $. B. $4$. C. $8\sqrt 2 $. D. $8$. Lời giải Chọn C $\overline z = \frac{{{{\left {1 + \sqrt 3 i} \right}^3}}}{{1 – i}}$$ \Leftrightarrow \overline z = – 4 – 4i$$ \Rightarrow $$z = – 4 + 4i$ $iz = i\left { – 4 – 4i} \right = – 4 – 4i$ $\overline z + iz = – 4 – 4i + \left { – 4 – 4i} \right = – 8 – 8i$ $\left {\overline z + iz} \right = \sqrt {{{\left { – 8} \right}^2} + {{\left { – 8} \right}^2}} = 8\sqrt 2 $ Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn $\mathop z\limits^ – = \frac{{1 + 3i}}{{1 – i}}.$Tính modun của số phức ${\rm{w}} = i.\mathop z\limits^ – + z?$ A. ${\rm{w = 4}}\sqrt 2 $. B. ${\rm{w = }}\sqrt 2 $. C. ${\rm{w = 3}}\sqrt 2 $. D. ${\rm{w = 2}}\sqrt 2 $. Lời giải Chọn C Ta có $\mathop z\limits^ – = \frac{{1 + 3i}}{{1 – i}} = – 1 + 2i.$ $ \Rightarrow z = – 1 – 2i.$ $ \Rightarrow $${\rm{w}} = i. – 1 + 2i + – 1 – 2i = – 3 – 3i$. $ \Rightarrow $${\rm{w = }}\sqrt {{{ – 3}^2} + {{ – 3}^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 $. Câu 10. Cho số phức $z = a + bi$, với $a,\,\,b$ là các số thực thỏa mãn $a + bi + 2i\left {a – bi} \right + 4 = i$, với $i$ là đơn vị ảo. Tìm mô đun của $\omega = 1 + z + {z^2}$. A. $\left \omega \right = \sqrt {229} $. B. $\left \omega \right = \sqrt {13} $ C. $\left \omega \right = 229$. D. $\left \omega \right = 13$. Lời giải Chọn A Ta có $a + bi + 2i\left {a – bi} \right + 4 = i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2b = – 4\\b + 2a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = – 3\end{array} \right.$. Suy ra $z = 2 – 3i$ Do đó $\omega = 1 + z + {z^2} = – 2 – 15i$. Vậy $\left \omega \right = \sqrt {{{\left { – 2} \right}^2} + {{\left { – 15} \right}^2}} = \sqrt {229} $ Mức độ 3 Câu 1. Tìm số phức $z$ thỏa mãn $\left {z – 2} \right = \left z \right$ và $\left {z + 1} \right\left {\bar z – i} \right$ là số thực. A. $z = 1 + 2i.$ B. $z = – 1 – 2i.$ C. $z = 2 – i.$ D. $z = 1 – 2i.$ Lời giải Chọn D Gọi $z = x + iy$ với $x,y \in \mathbb{R}$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left {z – 2} \right = \left z \right\\\left {z + 1} \right\left {\bar z – i} \right \in \mathbb{R}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left {x – 2} \right^2} + {y^2} = {x^2} + {y^2}\\\left {x + 1 + iy} \right\left {x – iy – i} \right \in \mathbb{R}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left {x – 2} \right^2} + {y^2} = {x^2} + {y^2}\\\left {x + 1 + iy} \right\left {x – iy – i} \right \in \mathbb{R}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\\left { – x – 1} \right\left {y + 1} \right + xy = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = – 2\end{array} \right.$ Câu 2. Giả sử ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $\left {\left {2 + {\rm{i}}} \right\left z \rightz – \left {1 – 2{\rm{i}}} \rightz} \right = \left {1 + 3{\rm{i}}} \right$ và $\left {{z_1} – {z_2}} \right = 1$. Tính $M = \left {2{z_1} + 3{z_2}} \right$. A. $M = 19$. B. $M = 25$. C. $M = 5$. D. $M = \sqrt {19} $. Lời giải Chọn D Từ giả thiết, ta có $\left {\left {2\left z \right – 1} \right + \left {\left z \right + 2} \right{\rm{i}}} \right.\left z \right = \sqrt {10} $$ \Leftrightarrow \left[ {{{\left {2\left z \right – 1} \right}^2} + {{\left {\left z \right + 2} \right}^2}} \right].{\left z \right^2} = 10$ $ \Leftrightarrow 5{\left z \right^4} + 5{\left z \right^2} – 10 = 0$$ \Leftrightarrow \left z \right = 1$ vì $\left z \right \ge 0$. Gọi ${z_1} = {x_1} + {y_1}{\rm{i}}$ và ${z_2} = {x_2} + {y_2}{\rm{i}}$. Ta có $\left {{z_1}} \right = \left {{z_2}} \right = 1$ nên $x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 = 1$. Mặt khác, $\left {{z_1} – {z_2}} \right = 1$ nên ${\left {{x_1} – {x_2}} \right^2} + {\left {{y_1} – {y_2}} \right^2} = 1$. Suy ra ${x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = \frac{1}{2}$. Khi đó $M = \left {2{z_1} + 3{z_2}} \right$$ = \sqrt {{{\left {2{x_1} + 3{x_2}} \right}^2} + {{\left {2{y_1} + 3{y_2}} \right}^2}} $ $ = \sqrt {4\left {x_1^2 + y_1^2} \right + 9\left {y_1^2 + y_2^2} \right + 12\left {{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}} \right} $ Vậy $M = \sqrt {19} $. Do đó ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} $ \Leftrightarrow $ $\frac{1}{2}{\left z \right^2} = 18$ $ \Leftrightarrow $$\left z \right = 6$. Câu 3. Gọi ${z_1}$, ${z_2}$ là hai trong các số phức thỏa mãn $\left {z – 1 + 2i} \right = 5$ và $\left {{z_1} – {z_2}} \right = 8$. Tìm môđun của số phức $w = {z_1} + {z_2} – 2 + 4i$. A. $\left w \right = 6$. B. $\left w \right = 16$. C. $\left w \right = 10$. D. $\left w \right = 13$. Lời giải Chọn A Gọi $A$ là điểm biểu diễn của số phức ${z_1}$, $B$ là điểm biểu diễn của số phức ${z_2}$. Theo giả thiết ${z_1}$, ${z_2}$ là hai trong các số phức thỏa mãn $\left {z – 1 + 2i} \right = 5$ nên $A$ và $B$ thuộc đường tròn tâm $I\left {1; – 2} \right$ bán kính $r = 5$. Mặt khác $\left {{z_1} – {z_2}} \right = 8 \Leftrightarrow AB = 8$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ suy ra $M$ là điểm biểu diễn của số phức $\frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}$ và $IM = 3$. Do đó ta có $3 = IM = \left {\frac{{{z_1} + {z_2}}}{2} – 1 + 2i} \right$$ \Leftrightarrow 3 = \frac{1}{2}\left {{z_1} + {z_2} – 2 + 4i} \right \Leftrightarrow \left {{z_1} + {z_2} – 2 + 4i} \right = 6$$ \Leftrightarrow \left w \right = 6$. Câu 4. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left {1 + i} \rightz + \overline z $ là số thuần ảo và $\left {z – 2i} \right = 1$? A. $2$. B. $1$. C. $0$. D. Vô số. Lời giải Chọn A Đặt $z = a + bi$ với $a,b \in \mathbb{R}$ ta có $\left {1 + i} \rightz + \overline z = \left {1 + i} \right\left {a + bi} \right + a – bi$$ = 2a – b + ai$. Mà $\left {1 + i} \rightz + \overline z $ là số thuần ảo nên $2a – b = 0$$ \Leftrightarrow b = 2a$. Mặt khác $\left {z – 2i} \right = 1$ nên ${a^2} + {\left {b – 2} \right^2} = 1$ $ \Leftrightarrow {a^2} + {\left {2a – 2} \right^2} = 1$ $ \Leftrightarrow 5{a^2} – 8a + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1 \Rightarrow b = 2\\a = \frac{3}{5} \Rightarrow b = \frac{6}{5}\end{array} \right.$. Vậy có $2$ số phức thỏa yêu cầu bài toán. Câu 5. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left {z + 1 – 3i} \right = 3\sqrt 2 $ và ${\left {z + 2i} \right^2}$ là số thuần ảo? A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. $4$. Lời giải Chọn C Gọi $z = x + yi\left {x,y \in \mathbb{R}} \right$, khi đó $\left {z + 1 – 3i} \right = 3\sqrt 2 \Leftrightarrow {\left {x + 1} \right^2} + {\left {y – 3} \right^2} = 18\,\,\,\,\left 1 \right$. ${\left {z + 2i} \right^2} = {\left[ {x + \left {y + 2} \righti} \right]^2} = {x^2} – {\left {y + 2} \right^2} + 2x\left {y + 2} \righti$. Theo giả thiết ta có ${x^2} – {\left {y + 2} \right^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y + 2\\x = – \left {y + 2} \right\end{array} \right.$. Trường hợp 1 $x = y + 2$ thay vào $\left 1 \right$ ta được phương trình $2{y^2} = 0$ và giải ra nghiệm $y = 0$, ta được $1$ số phức ${z_1} = 2$. Trường hợp 2 $x = – \left {y + 2} \right$ thay vào $\left 1 \right$ ta được phương trình $2{y^2} – 4y – 8 = 0$ và giải ra ta được $\left[ \begin{array}{l}y = 1 + \sqrt 5 \\y = 1 – \sqrt 5 \end{array} \right.$, ta được $2$ số phức $\left[ \begin{array}{l}{z_2} = – 3 – \sqrt 5 + \left {1 + \sqrt 5 } \righti\\{z_3} = – 3 + \sqrt 5 + \left {1 – \sqrt 5 } \righti\end{array} \right.$. Vậy có $3$ số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 6. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn ${\left {z – 1} \right^2} + \left {z – \overline z } \righti + \left {z + \overline z } \right{i^{2019}} = 1$? A. 4 B. C. 1 D. 3 Lời giải Chọn D Gọi $z = a + bi$; $\left {a,b \in \mathbb{R}} \right$$ \Rightarrow \overline z = a – bi$. Ta có ${\left {z – 1} \right^2} = {\left {a + bi – 1} \right^2} = {\left {a – 1} \right^2} + {b^2}$, $\left {z – \overline z } \righti = \left {a + bi – a + bi} \righti = \sqrt {{{\left {2b} \right}^2}} i = 2\left b \righti$, ${i^{2019}} = – i$, $\left {z + \overline z } \right{i^{2019}} = – i\left {a + bi + a – bi} \right = – 2ai$. Suy ra phương trình đã cho tương đương với ${\left {a – 1} \right^2} + {b^2} + 2\left b \righti – 2ai = 1$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left {a – 1} \right^2} + {b^2} = 1\\2\left b \right – 2a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} – 2a + {b^2} = 0\\a = \left b \right\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\left b \right^2} – 2\left b \right = 0\\a = \left b \right\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\left b \right = 0\\\left b \right = 1\end{array} \right.\\a = \left b \right\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0}\\{b = 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = – 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.$ Vậy có 3 số phức $z$thỏa mãn. Câu 7. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn ${\left z \right^2} = \left {z + \overline z } \right + \left {z – \overline z } \right$ và ${z^2}$ là số thuần ảo A. $4$ B. $2$ C. $3$ D. $5$ Lời giải Gọi số phức $z = a + bi$, $a,b \in \mathbb{R}$. Ta có ${\left z \right^2} = \left {z + \overline z } \right + \left {z – \overline z } \right \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = \left {2a} \right + \left {2bi} \right$ $ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2\left a \right + 2\left b \right\,\,\left 1 \right$. Lại có ${z^2} = {\left {a + bi} \right^2} = {a^2} – {b^2} + 2abi$ là số thuần ảo, suy ra ${a^2} – {b^2} = 0 \Leftrightarrow a = \pm b$ Trường hợp 1 $a = b$ thay vào $\left 1 \right$ ta được $ \Leftrightarrow 2{a^2} = 4\left a \right \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left a \right = 0\\\left a \right = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \pm 2\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = 0\\a = b = \pm 2\end{array} \right.$. Trường hợp 2 $a = – b$ thay vào $\left 1 \right$ ta được $ \Leftrightarrow 2{a^2} = 4\left a \right \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left a \right = 0\\\left a \right = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \pm 2\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = \mp 2\end{array} \right.$. Vậy có $5$ số phức thỏa mãn bài toán là $z = 0$, $z = 2 \pm 2i$, $z = – 2 \pm 2i$ Câu 8. Cho số phức $z = a + b{\rm{i}}$ $\left {a,b \in \mathbb{R}} \right$ thỏa mãn các điều kiện $z – \bar z = 4{\rm{i}}$ và $\left {z + 1 + 2{\rm{i}}} \right = 4$. Giá trị của $T = a + b$ bằng A. $3$. B. $ – 3$. C. $ – 1$. D. $1$. Lời giải Chọn D Ta có $z – \bar z = 4{\rm{i}} \Rightarrow \left {a + b{\rm{i}}} \right – \left {a – b{\rm{i}}} \right = 4{\rm{i}} \Leftrightarrow 2b = 4 \Leftrightarrow b = 2$. Mặt khác $\left {z + 1 + 2{\rm{i}}} \right = 4 \Rightarrow \left {a + 2{\rm{i}} + 1 + 2{\rm{i}}} \right = 4 \Leftrightarrow \left {\left {a + 1} \right + 4{\rm{i}}} \right = 4$ $ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left {a + 1} \right}^2} + {4^2}} = 4 \Leftrightarrow {\left {a + 1} \right^2} = 0 \Leftrightarrow a = – 1$. Vậy $z = – 1 + 2{\rm{i}}$. Suy ra $T = a + b = – 1 + 2 = 1$. Câu 9. Cho số phức $z = a + bi,\,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right$ thỏa mãn điều kiện $\frac{{{{\left z \right}^2}}}{z} + 2iz + \frac{{2\left {z + i} \right}}{{1 – i}} = 0.$ Tính tỷ số $T = \frac{a}{b}.$ A. $T = \frac{2}{5}$. B. $T = – \frac{3}{5}$. C. $T = \frac{3}{5}$. D. $T = 5$. Lời giải Chọn C Ta có $\frac{{{{\left z \right}^2}}}{z} + 2iz + \frac{{2\left {z + i} \right}}{{1 – i}} = 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{z\,\bar z}}{z} + 2iz + \frac{{2\left {z + i} \right\left {1 + i} \right}}{2} = 0$$ \Leftrightarrow \bar z + 2iz + z + iz + i – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow a – bi + a + bi + 3ia + bi + i – 1 = 0$$ \Leftrightarrow \left {2a – 3b – 1} \right + \left {3a + 1} \righti = 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a – 3b – 1 = 0\\3a + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{1}{3}\\b = – \frac{5}{9}\end{array} \right.$. Vậy $T = \frac{3}{5}.$ Câu 10. Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left {z – 3 + i} \right\left {1 – i} \right = {\left {1 + i} \right^{2019}}$. Khi đó số phức ${\rm{w}} = z + 1 – 2i$ có phần ảo? A. ${2^{1009}} – 1$. B. $ – 2$. C. $ – 3$. D. ${2^{1009}} – 4$. Lời giải Chọn C $\left {z – 3 + i} \right\left {1 – i} \right = {\left {1 + i} \right^{2019}} \Leftrightarrow \left {z – 3 + i} \right\left {1 – i} \right\left {1 + i} \right = {\left {1 + i} \right^{2020}}$ $ \Rightarrow z = \frac{{{{\left[ {{{\left {1 + i} \right}^2}} \right]}^{1010}}}}{{\left {1 – i} \right\left {1 + i} \right}} + 3 – i = \frac{{{{\left {2i} \right}^{1010}}}}{2} + 3 – i = \frac{{{{\left[ {{{\left {2i} \right}^2}} \right]}^{505}}}}{2} + 3 – i = \frac{{{{\left { – 4} \right}^{505}}}}{2} + 3 – i = – {2^{1009}} + 3 – i$. Vậy ${\rm{w}} = z + 1 – 2i = – {2^{1009}} + 3 – i + 1 – 2i = – {2^{1009}} – 3i + 4$ Do đó phần ảo của số phức phải tìm là -3 . Câu 11. Cho số phức $z = a + bi,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right$ thỏa mãn $\left {\overline z – 2 + 3i} \right = \sqrt 5 $ và $z$ có phần thực lớn hơn phần ảo $2$ đơn vị. Tính $S = a + b$. A. $S = 2$ và $S = 6$. B. $S = 4$ và $S = 3$. C. $S = 4$ và $S = 6$. D. $S = – 2$ và $S = 4$. Lời giải Chọn C Gọi $z = a + bi,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right \Rightarrow \overline z = a – bi$. Theo giả thiết, ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}\left {\overline z – 2 + 3i} \right = \sqrt 5 \\a = b + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left {a – bi – 2 + 3i} \right = \sqrt 5 \\a = b + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left {a – 2} \right}^2} + {{\left {3 – b} \right}^2}} = \sqrt 5 \\a = b + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} + {\left {3 – b} \right^2} = 5\\a = b + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{b^2} – 6b + 4 = 0\\a = b + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = 2\end{array} \right.\\a = b + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 2\end{array} \right.\end{array} \right.$. Vậy $S = 3 + 1 = 4$ và $S = 4 + 2 = 6$. Câu 12. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left {z – 1 + 2i} \right = \left {\bar z + 4 – i} \right$ và $\left {z – 2} \right = \sqrt {10} $? A. $2$. B. $1$. C. $0$. D. $3$. Lời giải Chọn A Gọi $z = a + bi,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right \Rightarrow \overline z = a – bi$. Theo giả thiết, ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}\left {z – 1 + 2i} \right = \left {\overline z + 4 – i} \right\\\left {z – 2} \right = \sqrt {10} \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left {a + bi – 1 + 2i} \right = \left {a – bi + 4 – i} \right\\\left {a + bi – 2} \right = \sqrt {10} \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left {a – 1} \right^2} + {\left {b + 2} \right^2} = {\left {a + 4} \right^2} + {\left[ { – \left {b + 1} \right} \right]^2}\\{\left {a – 2} \right^2} + {b^2} = 10\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 10a + 2b = 12\\{\left {a – 2} \right^2} + {b^2} = 10\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6 + 5a\\{\left {a – 2} \right^2} + {\left {6 + 5a} \right^2} = 10\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6 + 5a\\26{a^2} + 56a + 30 = 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6 + 5a\\\left[ \begin{array}{l}a = – 1\\a = – \frac{{15}}{{13}}\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\b = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{{15}}{{13}}\\b = \frac{3}{{13}}\end{array} \right.\end{array} \right.$ Vậy có 2 số phức $z$ thỏa đề $z = – 1 + i$ và $z = – \frac{{15}}{{13}} + \frac{3}{{13}}i$. Câu 13. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện $\left {z + 3i} \right = \left {z + 2 – i} \right.$ Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? A. $z = 1 – 2i$. B. $z = – \frac{1}{5} + \frac{2}{5}i$. C. $z = \frac{1}{5} – \frac{2}{5}i$. D. $z = – 1 + 2i$. Lời giải Chọn C Giả sử $z = x + yi\,\left {x,y \in \mathbb{R}} \right$ $\left {z + 3i} \right = \left {z + 2 – i} \right \Leftrightarrow \left {x + \left {y + 3} \righti} \right = \left {\left {x + 2} \right + \left {y – 1} \righti} \right \Leftrightarrow {x^2} + {\left {y + 3} \right^2} = {\left {x + 2} \right^2} + {\left {y – 1} \right^2}$ $ \Leftrightarrow 6y + 9 = 4x + 4 – 2y + 1 \Leftrightarrow 4x – 8y – 4 = 0 \Leftrightarrow x – 2y – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 2y + 1$ $\left z \right = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{{\left {2y + 1} \right}^2} + {y^2}} = \sqrt {5{y^2} + 4y + 1} = \sqrt {5{{\left {y + \frac{2}{5}} \right}^2} + \frac{1}{5}} \ge \frac{{\sqrt 5 }}{5}$ Suy ra ${\left z \right_{\min }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$ khi $y = – \frac{2}{5} \Rightarrow x = \frac{1}{5}$ Vậy $z = \frac{1}{5} – \frac{2}{5}i.$ Câu 14. Có bao nhiêu số phức $z$ có phần thực khác $0$, thỏa mãn $\left {z – \left {3 + i} \right} \right = 5$ và $z.\overline z = 25$? A. $3$. B. $2$. C. $0$. D. $1$. Lời giải Chọn D Gọi $z = a + bi,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right \Rightarrow \overline z = a – bi$. Điều kiện $a \ne 0$. Theo giả thiết, ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}\left {z – \left {3 + i} \right} \right = 5\\z.\overline z = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left {a + bi – 3 – i} \right = 5\\\left {a + bi} \right\left {a – bi} \right = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left {a – 3} \right}^2} + {{\left {b – 1} \right}^2}} = 5\\{a^2} + {b^2} = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} – 6a – 2b = 15\\{a^2} + {b^2} = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 – 6a – 2b = 15\\{a^2} + {b^2} = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 – 3a – b = 0\\{a^2} + {b^2} = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 – 3a\\{a^2} + {\left {5 – 3a} \right^2} = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 – 3a\\10{a^2} – 30a = 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = 5\\a = 0l\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = – 4\\a = 3n\end{array} \right.\end{array} \right.$. Vậy có 1 số phức $z$ thỏa đề $z = 3 – 4i$. Câu 15. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left {z – 6} \right = 2\sqrt 5 $ và ${z^2}$ là số thuần ảo? A. $2$. B. $3$. C. $4$. D. $5$. Lời giải Chọn C Gọi $z = a + bi,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right \Rightarrow \overline z = a – bi$. Theo giả thiết $\left {z – 6} \right = 2\sqrt 5 $$ \Leftrightarrow \left {a + bi – 6} \right = 2\sqrt 5 $$ \Leftrightarrow {\left {a – 6} \right^2} + {b^2} = 20$$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} – 12a + 16 = 0$1. Mặt khác ${z^2} = {\left {a + bi} \right^2} = {a^2} – {b^2} + 2abi$ là số thuần ảo nên ${a^2} – {b^2} = 0$ hay ${a^2} = {b^2}$. Thay ${b^2} = {a^2}$ vào 1, ta được $ \Leftrightarrow {a^2} + {a^2} – 12a + 16 = 0$$ \Leftrightarrow 2{a^2} – 12a + 16 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4\\a = 2\end{array} \right.$. Với $a = 4$, ta có $ \Rightarrow b = \pm 4$. Với $a = 2$, ta có $ \Rightarrow b = \pm 2$. Vậy có 4 số phức $z$ thỏa đề $z = 4 + 4i,z = 4 – 4i,z = 2 + 2i,z = 2 – 2i$. Câu 16. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left {z – 2i} \right = 1$ và $\left {1 + i} \rightz + \overline z $ là số thuần ảo? A. $4$. B. $3$. C. $2$. D. $5$. Lời giải Chọn C Gọi $z = a + bi,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right \Rightarrow \overline z = a – bi$. Theo giả thiết $\left {z – 2i} \right = 1$$ \Leftrightarrow \left {a + bi – 2i} \right = 1$$ \Leftrightarrow {a^2} + {\left {b – 2} \right^2} = 1$$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} – 4b + 3 = 0$1. Mặt khác $\left {1 + i} \rightz + \overline z = \left {1 + i} \right\left {a + bi} \right + a – bi$$ = a + bi + ai – b + a – bi = 2a – b + ai$ là số thuần ảo nên $2a – b = 0$ hay $b = 2a$. Thay $b = 2a$ vào 1, ta được $ \Leftrightarrow {a^2} + 4{a^2} – + 3 = 0$$ \Leftrightarrow 5{a^2} – 8a + 3 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = \frac{3}{5}\end{array} \right.$. Với $a = 1$, ta có $b = 2$. Với $a = \frac{3}{5}$, ta có $b = \frac{6}{5}$. Vậy có 2 số phức $z$ thỏa đề $z = 1 + 2i,z = \frac{3}{5} + \frac{6}{5}i$. Câu 17. Có bao nhiêu số phức $z$ có phần ảo nguyên thỏa mãn $\left {z – 1} \right = \sqrt 5 $ và $\left {z – i} \right\left {\overline z + 2} \right$ là số thực? A. $1$. B. $2$. C. $4$. D. $3$. Lời giải Chọn A Gọi $z = a + bi,\left {a \in \mathbb{R},b \in \mathbb{Z}} \right \Rightarrow \overline z = a – bi$. Theo giả thiết $\left {z – 1} \right = \sqrt 5 $$ \Leftrightarrow \left {a + bi – 1} \right = \sqrt 5 $$ \Leftrightarrow {\left {a – 1} \right^2} + {b^2} = 5$$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} – 2a – 4 = 0$1. Mặt khác $\left {z – i} \right\left {\overline z + 2} \right = \left {a + bi – i} \right\left {a – bi + 2} \right = {a^2} + {b^2} + 2a – b + \left {2b – a – 2} \righti$ là số thực nên $2b – a – 2 = 0$ hay $a = 2b – 2$. Thay $a = 2b – 2$ vào 1, ta được $ \Leftrightarrow {\left {2b – 2} \right^2} + {b^2} – 2\left {2b – 2} \right – 4 = 0$$ \Leftrightarrow 5{b^2} – 12b + 4 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 2n\\b = \frac{2}{5}\left l \right\end{array} \right.$. Với $b = 2$, ta có $a = 2$. Vậy có 1 số phức $z$ thỏa đề $z = 2 + 2i$. Câu 18. Tìm số phức liên hợp của $z$ thỏa mãn $\left {z – i} \right = \left {\overline z + 1 + 2i} \right$ và $\frac{{z – 2i}}{{\overline z + i}}$ là số thuần ảo? A. $\overline z = 0$. B. $\overline z = 2i$. C. $\overline z = – 2i$. D. $\overline z = 2$. Lời giải Chọn C Gọi $z = a + bi,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right \Rightarrow \overline z = a – bi$. Theo giả thiết $\left {z – i} \right = \left {\overline z + 1 + 2i} \right$$ \Leftrightarrow \left {a + bi – i} \right = \left {a – bi + 1 + 2i} \right$$ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{\left {b – 1} \right}^2}} = \sqrt {{{\left {a + 1} \right}^2} + {{\left {2 – b} \right}^2}} $$ \Leftrightarrow 2a – 2b + 4 = 0$$ \Leftrightarrow b = a + 2$ 1. Mặt khác $\frac{{z – 2i}}{{\overline z + i}} = \frac{{a + bi – 2i}}{{a – bi + i}} = \frac{{\left {a + bi – 2i} \right\left {a + bi – i} \right}}{{{a^2} + {{\left {1 – b} \right}^2}}}$ $\begin{array}{l} = \frac{{\left {a + bi – 2i} \right\left {a + bi – i} \right}}{{{a^2} + {{\left {1 – b} \right}^2}}} = \frac{{{a^2} – {b^2} + 3b – 2 + \left {2ab – 3a} \righti}}{{{a^2} + {{\left {1 – b} \right}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array}$là số thuần ảo nên $\begin{array}{l}\frac{{{a^2} – {b^2} + 3b – 2}}{{{a^2} + {{\left {1 – b} \right}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} – {b^2} + 3b – 2 = 0,2\\{a^2} + {\left {1 – b} \right^2} > 0,*\end{array} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array}$. Thay $b = a + 2$ ở 1 vào 2, ta được ${a^2} – {\left {a + 2} \right^2} + 3\left {a + 2} \right – 2 = 0$$ \Leftrightarrow {a^2} – \left {{a^2} + 4a + 4} \right + 3a + 6 – 2 = 0$$ \Leftrightarrow a = 0$ Với $a = 0$, ta có $b = 2$ thỏa * nên $z = 2i$. Vậy $\overline z = – 2i$. Câu 19. Có tất cả bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left z \right = \sqrt 5 $ và $\left {\frac{z}{{\overline z }} + \frac{{\overline z }}{z}} \right = \frac{6}{5}$? A. $6$. B. $4$. C. $10$. D. $8$. Lời giải Chọn D Gọi $z = a + bi,\left {a,b \in \mathbb{R}} \right \Rightarrow \overline z = a – bi$. Theo giả thiết $\left z \right = \sqrt 5 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 5$ 1. Mặt khác $\left {\frac{z}{{\overline z }} + \frac{{\overline z }}{z}} \right = \frac{6}{5} \Leftrightarrow \left {\frac{{{z^2} + {{\left {\overline z } \right}^2}}}{{z.\overline z }}} \right = \frac{6}{5}$$ \Leftrightarrow \left {\frac{{{{\left {a + bi} \right}^2} + {{\left {a – bi} \right}^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right = \frac{6}{5}$$ \Leftrightarrow \left {2{a^2} – 2{b^2}} \right = 6$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{a^2} – {b^2} = 3,2\\{a^2} – {b^2} = – 3,3\end{array} \right.$ Từ 1 và 2 ta có$\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4\\{b^2} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 1\\{b^2} = 4\end{array} \right.\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = \pm 2\\b = \pm 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = \pm 1\\b = \pm 2\end{array} \right.\end{array} \right.$ Vậy có tất cả 8 số phức thỏa đề. Câu 20. Cho hai số phức ${z_1}$ và ${z_2}$ thỏa mãn $\left {{z_1}} \right = 3,\left {{z_2}} \right = 4,\left {{z_1} – {z_2}} \right = \sqrt {37} $. Hỏi có bao nhiêu số phức $z$ mà $z = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = x + yi$? A. $4$. B. $2$. C. $3$. D. $1$. Lời giải Chọn B Gọi ${z_1} = a + bi,{z_2} = c + di,\left {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right$. Theo giả thiết $\left {{z_1}} \right = 3 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 9$ 1. $\left {{z_2}} \right = 4 \Leftrightarrow {c^2} + {d^2} = 16$ 2. $\left {{z_1} – {z_2}} \right = \sqrt {37} $$ \Leftrightarrow {\left {a – c} \right^2} + {\left {b – d} \right^2} = 37$$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} – 2ac – 2bd = 37$$ \Leftrightarrow ac + bd = – 6$ Mặt khác $\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{a + bi}}{{c + di}} = \frac{{\left {a + bi} \right\left {c – di} \right}}{{{c^2} + {d^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}} + \frac{{\left {bc – ad} \right}}{{{c^2} + {d^2}}}.i$$ = \frac{{ – 6}}{{16}} + yi = \frac{{ – 3}}{8} + yi$ Do đó $x = – \frac{3}{8}$ Hơn thế nữa $\left {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right = \frac{{\left {{z_1}} \right}}{{\left {{z_2}} \right}} = \frac{3}{4} = \sqrt {{x^2} + {y^2}} $$ \Leftrightarrow \frac{3}{4} = \sqrt {{{\left { – \frac{3}{8}} \right}^2} + {y^2}} $$ \Leftrightarrow {y^2} = \frac{{27}}{{64}}$$ \Leftrightarrow y = \pm \frac{{3\sqrt 3 }}{8}$ Vậy có 2 số phức thỏa đề là $z = – \frac{3}{8} + \frac{{3\sqrt 3 }}{8}i,z = – \frac{3}{8} – \frac{{3\sqrt 3 }}{8}i$. Mức độ 4 Câu 1. Trong mặt phẳng phức, cho $3$ điểm $A,\;B,\;C$ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức ${z_1} = – 1 + i,\;{z_2} = 1 + 3i,\;{z_3}$. Biết tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và ${z_3}$ có phần thực dương. Khi đó, tọa độ điểm $C$ là A. $\left {2\;;\; – 2} \right$. B. $\left {3\;;\; – 3} \right$. C. $\left {\sqrt 8 – 1\;;\;1} \right$. D. $\left {1\;;\; – 1} \right$. Lời giải Chọn D Giả sử ${z_3} = a + bi$ với $a,b \in R,\;a\; > \;0$ suy ra $C\left {a\;;\;b} \right$. Ta có $A\left { – 1\;;\;1} \right,\;B\left {1\;;\;3} \right$ $ \Rightarrow $ $\overrightarrow {AB} = \left {2\;;\;2} \right,\;\overrightarrow {AC} = \left {a + 1\;;\;b – 1} \right$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow 2\left {a + 1} \right + 2\left {b – 1} \right = 0 \Leftrightarrow a + b = 0 \Leftrightarrow b = – a\quad \left 1 \right$. Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AC = AB \Leftrightarrow A{C^2} = A{B^2} \Leftrightarrow {\left {a + 1} \right^2} + {\left {b – 1} \right^2} = 8\quad 2$. Thế $\left 1 \right$ vào $\left 2 \right$ ta được ${\left {a + 1} \right^2} + {\left { – a – 1} \right^2} = 8 \Leftrightarrow {a^2} + 2a + 1 = 4 \Leftrightarrow {a^2} + 2a – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = – 3\end{array} \right.$. Vì $a\; > \;0$ nên $a = 1 \Rightarrow b = – 1$. Vậy điểm $C$ có tọa độ là $\left {1\;;\; – 1} \right$. Câu 2. Cho số phức $z$, biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức $z$;$iz$ và $z + i\;z$tạo thành một tam giác có diện tích bằng $18$. Mô đun của số phức $z$ bằng A. $2\sqrt 3 $. B. $3\sqrt 2 $. C. $6$. D. $9$. Lời giải Chọn C Gọi $z = a + bi$, $a,b \in \mathbb{R}$ nên $iz = ai – b$, $z + i\;z$$ = a + bi – b + ai$$ = a – b + \left {a + b} \righti$ Ta gọi $A\left {a,\,b} \right$, $B\left { – b,\,a} \right$, $C\left {a – b,\,a + b} \right$nên $\overrightarrow {AB} \left { – b – a,\,a – b} \right$, $\overrightarrow {AC} \left { – b,\,a} \right$ $S = \frac{1}{2}\left {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right$ $ = \frac{1}{2}\left { – {a^2} – {b^2}} \right$$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left {{a^2} + {b^2}} \right = 18$$ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 6$. Câu 4. Gọi $S$ là tập hợp các số thực $m$ sao cho với mỗi $m \in S$ có đúng một số phức thỏa mãn $\left {z – m} \right = 6$ và $\frac{z}{{z – 4}}$ là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập $S$. A. $10.$ B. $0.$ C. $16.$ D. $8.$ Lời giải Chọn D Gọi $z = x + iy$ với $x,y \in \mathbb{R}$ ta có $\frac{z}{{z – 4}} = \frac{{x + iy}}{{x – 4 + iy}} = \frac{{\left {x + iy} \right\left {x – 4 – iy} \right}}{{{{\left {x – 4} \right}^2} + {y^2}}} = \frac{{x\left {x – 4} \right + {y^2} – 4iy}}{{{{\left {x – 4} \right}^2} + {y^2}}}$ là số thuần ảo khi $x\left {x – 4} \right + {y^2} = 0 \Leftrightarrow {\left {x – 2} \right^2} + {y^2} = 4$ Mà $\left {z – m} \right = 6 \Leftrightarrow {\left {x – m} \right^2} + {y^2} = 36$ Ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{\left {x – m} \right^2} + {y^2} = 36\\{\left {x – 2} \right^2} + {y^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left {4 – 2m} \rightx = 36 – {m^2}\\{y^2} = 4 – {\left {x – 2} \right^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{36 – {m^2}}}{{4 – 2m}}\\{y^2} = 4 – {\left {\frac{{36 – {m^2}}}{{4 – 2m}} – 2} \right^2}\end{array} \right.$ Ycbt $ \Leftrightarrow 4 – {\left {\frac{{36 – {m^2}}}{{4 – 2m}} – 2} \right^2} = 0$$ \Leftrightarrow 2 = \frac{{36 – {m^2}}}{{4 – 2m}} – 2$ hoặc $ – 2 = \frac{{36 – {m^2}}}{{4 – 2m}} – 2$ $ \Leftrightarrow m = 10$ hoặc $m = – 2$ hoặc $m = \pm 6$ Vậy tổng là $10 – 2 + 6 – 6 = 8$. Câu 5. Có bao nhiêu số phức $z$ thoả mãn $\left {z – 3i} \right = \sqrt 5 $ và $\frac{z}{{z – 4}}$ là số thuần ảo? A. 0 B. vô số. C. 2 D. 1 Lời giải Chọn C Cách 1 Ta có $\frac{z}{{z – 4}} = bi \Leftrightarrow z = biz – 4 \Leftrightarrow zbi – 1 = 4bi \Leftrightarrow z = \frac{{4bi}}{{bi – 1}}$ Khi đó $z – 3i = \left {\frac{{4bi}}{{bi – 1}} – 3i} \right = \left {\frac{{4b + 3i + 3b}}{{bi – 1}}} \right = \sqrt {\frac{{{{4b + 3}^2} + {{3b}^2}}}{{{b^2} + 1}}} = \sqrt 5 \Leftrightarrow b = – 1,b = – \frac{1}{5}$ Vậy có 2 số phức $z$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 6. Xét số phức $z$ thỏa mãn $\left {1 + 2i} \right\left z \right = \frac{{\sqrt {10} }}{z} – 2 + i.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. $\frac{3}{2} 2.$ C. $\left z \right Đáp án A. Câu 18. Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left {z – 1 + 2i} \right = \sqrt 5 $ và $w = z + 1 + i$ có môđun lớn nhất. Số phức $z$ có môđun bằng A. $2\sqrt 5 $ B. $3\sqrt 2 $ C. $\sqrt 6 $ D. $5\sqrt 2 $ Lời giải Chọn B Gọi $z = x + yi\quad \left {x,y \in \mathbb{R}} \right\quad \Rightarrow z – 1 + 2i = \left {x – 1} \right + \left {y + 2} \righti$ Ta có $\left {z – 1 + 2i} \right = \sqrt 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left {x – 1} \right}^2} + {{\left {y + 2} \right}^2}} = \sqrt 5 \Leftrightarrow {\left {x – 1} \right^2} + {\left {y + 2} \right^2} = 5$ Suy ra tập hợp điểm $M\left {x;y} \right$ biểu diễn số phức $z$ thuộc đường tròn $\left C \right$ tâm $I\left {1; – 2} \right$ bán kính $R = \sqrt 5 $ như hình vẽ Dễ thấy $O \in \left C \right$, $N\left { – 1; – 1} \right \in \left C \right$ Theo đề ta có $M\left {x;y} \right \in \left C \right$là điểm biểu diễn cho số phức $z$thỏa mãn $w = z + 1 + i = x + yi + 1 + i = \left {x + 1} \right + \left {y + 1} \righti$ $ \Rightarrow \left {z + 1 + i} \right = \sqrt {{{\left {x + 1} \right}^2} + {{\left {y + 1} \right}^2}} = \left {\overrightarrow {MN} } \right$ Suy ra $\left {z + 1 + i} \right$đạt giá trị lớn nhất $ \Leftrightarrow MN$lớn nhất Mà $M,N \in \left C \right$ nên $MN$lớn nhất khi $MN$ là đường kính đường tròn $\left C \right$ $ \Leftrightarrow I$ là trung điểm $MN \Rightarrow M\left {3; – 3} \right \Rightarrow z = 3 – 3i \Rightarrow \left z \right = \sqrt {{3^2} + {{\left { – 3} \right}^2}} = 3\sqrt 2 $ Câu 19. Cho số phức $z$ thỏa mãn Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện sau $\left {z + 1} \right = \left {\frac{{z + \overline z }}{2} + 3} \right$, hãy tìm căn bậc hai của số phức z có môđun nhỏ nhất. A. $2$ B. $ \pm i\sqrt 2 $ C. $ – 2$ D. $\sqrt 2 $ Lời giải Chọn B Đặt $z = x + yi\left {x,y \in \mathbb{R}} \right$ Khi đó $\left {z + 1} \right = \left {\frac{{z + \overline z }}{2} + 3} \right \Leftrightarrow \left {\left {x + 1} \right + yi} \right = \left {x + 3} \right$ $ \Leftrightarrow {\left {x + 1} \right^2} + {y^2} = {\left {x + 3} \right^2} \Leftrightarrow {y^2} = 4x + 8$ Ta có $\left z \right = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + 4x + 8} = \sqrt {{{\left {x + 2} \right}^2} + 4} \ge 2$ Dấu = xảy ra khi $x = – 2 \Rightarrow y = 0$. Vậy số phức $z = – 2$. Vậy căn bậc hai của số số phức $z = – 2$ là $ \pm i\sqrt 2 $. Câu 20. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện $\left {\frac{{\left {1 + i} \rightz}}{{1 – i}} + 2} \right = \sqrt 3 $, gọi ${z_1}$ là số phức có số phức z có môđun nhỏ nhất và ${z_2}$ là số phức có môđun lớn nhất. Tìm số phức ${z_1} + {z_2}$. A. $\left {2 + \sqrt 3 } \righti$ B. $\left {2 + \sqrt 3 } \righti$ C. $4i$ D. $2\sqrt 3 i$ Lời giải Chọn C Đặt $z = x + yi\left {x,y \in \mathbb{R}} \right$. Ta có $\left {\frac{{\left {1 + i} \rightz}}{{1 – i}} + 2} \right = \sqrt 3 \Leftrightarrow \left {i\left {x + yi} \right + 2} \right = \sqrt 3 $ $ \Leftrightarrow \left {\left {2 – y} \right + xi} \right = \sqrt 3 \Leftrightarrow {x^2} + {\left {y – 2} \right^2} = 3$ $ \Leftrightarrow {\left {\frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right^2} + {\left {\frac{{y – 2}}{{\sqrt 3 }}} \right^2} = 1$ Đặt $x = \sqrt 3 \sin \alpha ,y = 2 + \sqrt 3 \cos \alpha $ thì tìm được $\left z \right$ lớn nhất khi $z = \left {2 + \sqrt 3 } \righti$ và $\left z \right$ nhỏ nhất khi $z = \left {2 – \sqrt 3 } \righti$. Vậy ${z_1} + {z_2} = 4i$

tìm số phức z thỏa mãn điều kiện